Cap 2 : Emissione di sincrotrone

E’ noto che una carica accelerata emette radiazione elettromagnetica. Una tale emissione era stata predetta già nel secolo scorso: Larmor, nel 1897, aveva ricavato, a partire dall’elettrodinamica classica, la formula che esprime la potenza P irradiata da una particella accelerata non relativistica di carica e e di massa m₀ :

(2.1)

dove è la quantità di moto della particella e c la velocità della luce nel vuoto.

2.2 Emissione di radiazione di sincrotrone

Questa emissione assume un ruolo importante per gli acceleratori circolari di particelle: un elettrone relativistico di energia E = m₀c²g, che si muova a velocità costante v = bc all’interno di un campo magnetico costante B, a causa della forza di Lorentz percorrerà una traiettoria circolare di raggio r (fig. 2.1):

(2.2)

 (per elettroni relativistici b ~ 1)

Fig. 2.1 : Traiettoria di un elettrone in un campo magnetico uniforme

La carica emetterà quindi radiazione irraggiando la potenza

(2.3)

Questa formula, derivata nel 1944 da Iwanenko e Pomeranchuk, descrive la potenza irraggiata da una carica relativistica di energia E che si muova all’interno di un campo magnetico costante B. Si può osservare che la potenza irraggiata cresce con il quadrato dell’energia, ma decresce con la quarta potenza della massa a riposo m₀. Questo significa che ci si deve aspettare un irraggiamento apprezzabile solo nel caso di elettroni o positroni di alta energia.

Agli albori della tecnologia degli acceletarori di particelle l’emissione di sincrotrone era considerata un noioso inconveniente, in quanto era necessario fornire in continuazione agli elettroni l’energia che essi perdevano a causa dell’irraggiamento. Tuttavia in breve tempo ci si rese conto che le caratteristiche peculiari della radiazione emessa potevano essere utilizzate per molte applicazioni. Le caratteristiche che rendono interessante la radiazione di sincrotrone sono: 

• grande larghezza di banda, che si estende a fotoni UV, x e g
• accordabilità
• elevata intensità
• elevata polarizzazione

Lo spettro di emissione della radiazione di sincrotrone è riportato in fig. 2.2.

Fig. 2.2 Spettro della emissione di sincrotrone

La frequenza w_c è detta frequenza critica, ed è espressa dalla formula: 

(2.4)

dove r è il raggio di curvatura espresso dalla (2.2) e g è il fattore relativistico :

(2.5)

La presenza in ordinata della grandezza dP/dw invece della potenza P nasce da considerazioni di carattere sperimentale: quando vogliamo effettuare una misura ad una certa frequenza w, useremo un rivelatore che avrà una larghezza di banda Dw centrata in w. Verrà così rivelata la Potenza irraggiata da w - Dw/2aw + Dw/2, vale a dire l’area sottesa dalla curva tra questi due valori di ascissa. Dalla figura si vede che è possibile ottenere una frazione consistente della potenza massima fino a frequenze pari a circa 2w_c.

Dato che il valore di w_c dipende dal cubo dell’energia, aumentando l’energia degli elettroni aumenta anche la massima frequenza emessa con potenza appezzabile; a titolo di esempio è possibile calcolare il valore di w_c per tre diverse classi di macchine acceleratrici di elettroni: 

Nel primo caso la massima frequenza utile cade nella regione dell’infrarosso, mentre è evidente che i "tipici" sincrotroni sono dimensionati in modo tale da ottenere emissione fino ai raggi x. L’uso di una macchina molto più grossa permette di raggiungere la regione dei raggi g, ma l’uso di un tale sistema non è consigliabile sia per problemi di costo che per le difficoltà sperimentali.

A causa degli effetti relativistici, la radiazione non verrà emessa dagli elettroni su tutto l’angolo solido, bensì all’interno di un cono di apertura q nella direzione del moto. L’ampiezza del cono di luce è data da: 

(2.6)

Nel caso di elettroni fortemente relativistici il valore di q può essere assai piccolo, dando origine ad un’emissione molto direzionale. Proviamo a calcolare il valore di q per i tre casi visti in precedenza: 

Ricapitolando, aumentando l’energia degli elettroni, aumenta la potenza emessa e la stessa si concentra lungo la direzione del moto.

La direzionalità dell’emissione può spiegare le caratteristiche spettrali della radiazione di sincrotrone: consideriamo la luce emessa da un elettrone che si muova lungo una traiettoria circolare di raggio r. Come rappresentato in fig. 2.3, un ipotetico osservatore potrà osservare la radiazione emessa solo quando sarà investito dal cono di luce, vale a dire fintanto che l’angolo tra la tangente alla traiettoria e la direzione di osservazione sarà minore dell’angolo q.

Fig. 2.3 - Spiegazione geometrica delle caratteristiche spettrali dell’emissione di sincrotrone

 Questo equivale a dire che l’osservatore vedrà la radiazione emessa lungo l’arco di lunghezza l_e = 2qr. La durata dell’impulso di luce così generato sarà quindi pari alla differenza tra il tempo di transito dell’elettrone lungo l’arco l_e  e dei fotoni lungo la corda l_p = 2r sinq. 

(2.7)

 dove v è la velocità dellelettrone, che in termini della sua energia può essere espressa come:

(2.8a)

Si ricava quindi 

(2.8b)

 ricordando che q = 1/g. Se poi sviluppo in serie al primo ordine in q, cioè 

e ottengo

 (2.8c)

Dalla analisi di Fourier si ricava che l’ordine di grandezza della larghezza di banda di un impulso di lunghezza dt è dell’ordine di p/dt, per cui si ricava: 

(2.9)

che, a parte un fattore numerico 2p, è proprio la definizione della frequenza critica, che risulta così proporzionale alla larghezza di banda.

Quindi, il fatto che l’angolo q sia piccolo per elettroni estremamente energetici (q ~ 1/g) produrrà impulsi di luce molto brevi, il che risulta in una elevata largezza della banda di emissione.

Avere a disposizione una banda di emissione larga è molto utile, in quanto è possibile selezionare la frequanza desiderata all’interno di un range molto esteso, che può andare dall’infrarosso ai raggi x duri (accordabilità spettrale). Tuttavia il fatto che la potenza totale sia distribuita su una vasta regione spettrale fa si che la potenza per unità di frequenza risultu piccola. Se è necessario disporre di elevate potenze per unità di frequenza è quindi necessario ridurre la larghezza spettrale dell’emissione, vale a dire ottenere impulsi di luce più lunghi. Questo può essere fatto, senza perdite in termini di potenza integrata, utilizzando il cosiddetto "Schema di Motz" (1951), che fa uso del cosiddetto "ondulatore magnetico", e che sarà oggetto del prossimo capitolo.

Cap. 3 : Emissione di ondulatore