e che 
, dove vf è la velocità di fase
dell’onda elettromagnetica 
, si ricava:
4.1 Il processo di interazione
Finora abbiamo visto ciò che accade quando un elettrone attraversa un ondulatore magnetico, considerando in tal modo un solo campo elettromagnetico: quello dello stesso ondulatore. Vediamo ora invece cosa succede se nel processo sono presenti altri modi del campo elettromagnetico: osserveremo le modalità di emissione in questa situazione e le variazioni di intensita di questi modi nel processo.
Consideriamo un campo elettromagnetico che si propaghi insieme con l’elettrone all’interno dell’ondulatore. Vogliamo qui calcolare lo scambio di energia tra l’elettrone ed il campo elettromagnetico.
All’interno dell’ondulatore gli elettroni oscillano sul piano trasverso xz con periodo lu. Perché possa aver luogo uno scambio di energia tra elettroni e campo elettromagnetico è necessario che ci sia sincronismo tra le oscillazioni trasverse degli elettroni e l’oscillazione del campo elettrico dell’onda elettromagnetica copropagantesi. Questo accadrà se l’elettrone, dopo un periodo dell’ondulatore, troverà di nuovo il campo elettrico con la stessa fase. Ciò può avvenire (ricordando che vz < c) se la velocità longitudinale media degli elettroni è scelta in modo tale che l’elettrone compie un’oscillazione completa nel tempo necessario alla luce per percorrere un periodo dell’ondulatore più una lunghezza d’onda. Questa condizione può essere espressa così:
la condizione di sincronismo è espressa dall’equazione te = tp ;
ricordando che e che , dove vf è la velocità di fase
dell’onda elettromagnetica , si ricava:
(4.1)
oppure, definendo ku=2p/lu
vflu=vz(lu+l)
e ricordando che e vz=bzcsi ricava
(4.2)
questa equazione descrive i punti del piano (k, w/c) dove è soddisfatta la
condizione di sincronismo, ed è nota come "beam line".
E’ necessario ora considerare la relazione di dispersione della struttura ove ha luogo l’interazione:
w/c=f(w).
L’intersezione tra le due curve fornirà la frequenza di emissione dell’ondulatore.
Fig. 4.1 : intersezione tra la beam line e la relazione di dispersione del vuoto nel diagramma
w-k
Se l’interazione avviene nel vuoto, la relazione di dispersione è lineare: w/c=k e la frequenza di emissione è data dall’intersezione tra questa retta e la beam line, come illustrato in fig. 4.1
La soluzione analitica si ricava banalmente eguagliando le due equazioni:
da cui si ricava, ricordando che 
(4.3)
La 4.3 si trasforma, nel caso di elettroni relativistici (b ~ 1) in:
(4.4)
Osserviamo che questa formula è uguale alla 3.21 che esprime la frequenza centrale di emissione spontanea di un ondulatore. Analogamente alla 3.22, in termini di lunghezza d’onda si ha:
(4.5)
Si può facilmente verificare che la condizione di sincronismo è soddisfatta anche quando nel tempo te l’onda elettromagnetica supera l’elettrone per una quantità pari a 2 o più lunghezze d’onda. Quindi la relazione più generale sarà:
|
|
con n intero maggiore di zero |
|
(4.7)
n è il cosiddetto "numero di armonica" e l’intersezione delle diverse beam line ottenute per i diversi valori di n con la relazione di dispersione fornisce la frequenza di emissione fondamentale e le relative armoniche, come mostrato in fig. 4.2
Fig. 4.2 : intersezione tra la relazione di dispersione e le beam line correispondenti alle armoniche
per n=1,2,3
Risulta quindi evidente che è possibile cambiare la frequenza di emissione variando:
Cerchiamo ora di calcolare il guadagno ottenibile nell’interazione tra elettrone ed onda elettromagnetica. Iniziamo
calcolando la variazione di energia dell’elettrone: dato 
si ha:
(4.8)
Ricordiamo che solo le componenti x e z della velocità sono diverse da zero. Dato che consideriamo
un’onda elettromagnetica, il campo elettrico sarà solo trasverso, per cui 
; inoltre si ha:
|
|
dove f è la fase del campo elettromagnetico |
|
(4.10)
ricordando la relazione trigonometrica 
si ottiene:
(4.11)
entrambi i termini sono rapidamente oscillanti con t, ma se si sceglie w vicino alla frequenza di risonanza è possibile eliminare il secondo termine, che oscillerà più rapidamente e fornirà quindi un contributo trascurabile dopo una media temporale. Quindi, ponendo y = y - si ha:
(4.12)
con
(4.13)
E’ ora possibile scrivere le derivate rispetto al tempo della funzione y:
(4.14)
ricordiamo ora che 
l’equazione che esprime dg /dt deve ora essere accoppiata con l’equazione
per dz/dt, che può essere semplificata mediando su z l’oscillazione longitudinale, che risulta trascurabile
rispetto alla velocità longitudinale. Mediando lungo z, il termine sin(kuz) fornisce un
fattore ½, per cui l’espressione di vx (4.9) diventa 
, quindi:
(4.15)
ricordando l’espansione in serie 
si
ottiene:
(4.16)
facendo la derivata rispetto a t si ricava:
(4.17)
sostituendo nell’equazione il valore di dg/dt (4.12) e di 
si ricava:
(4.18)
ricordiamo che 
per cui:
(4.19)
(4.20)
(è valida se g = costante lungo il singolo passaggio, cioè in condizioni di basso guadagno)
Si ottiene la cosiddetta "equazione del pendolo" che descrive la dinamica del FEL:
(4.21)
Se si definisce il guadagno per singolo passaggio G come la variazione relativa di energia della radiazione, cioè:
(4.22)
E’ facile ricavare l’espressione per DWp, in quanto l’aumento in energia del modo e.m. avviene a spese dell’energia degli elettroni, quindi:
(4.23)
per cui:
La variazione di g può essere espressa in termini di y;
se Dg << g si ha:
(4.24)
per cui si ottiene:
(4.25)
Il guadagno può quindi essere scritto come:
(4.26)
Se nel fascio di elettroni ci sono N elettroni, corispondenti ad una corrente I,
(4.27)
prendendo N volte l’energia media scambiata da ogni elettrone si ha:
(4.28)
Per ottenere il valore di
è
possibile condurre un’analisi perturbativa dell’equazione del pendolo, che viene riportata nell’appendice B. In
questa sede ci limitiamo a fornire il risultato finale del calcolo del guadagno:
(4.29)
dove 
è il cosiddetto parametro
di detuning, I0 è la corrente di Alfven, espressa da 
e SL è la sezione del
modo laser. Nel vuoto quest’ultima è la sezione del modo gaussiano nel risonatore, mentre all’interno di
una guida d’onda, per un generico modo TEmn, è espressa da:
(4.30)
dove a e b sono le dimensioni della guida e s = 1 se sia m che n sono diversi da zero, s = 2 altrimenti.
Come si può vedere il guadagno dipende da molti parametri. Onde semplificare l'espressione del guadagno, è possibile fare qualche approssimazione:
In tal modo si ottiene per il guadagno l'espressione:
(4.31)
Come si può vedere il guadagno risulta proporzionale all'intensità della corrente di elettroni, al cubo del numero di periodi dell'ondulatore e al quadrato del parametro di ondulatore K, che riflette l'intensità del campo magnetico dell'ondulatore, mentre è inversamente proporzionale al cubo dell'energia g.
Una volta costruita la macchina, i valori di g e di N non possono in genere essere variati, cosicchè gli unici parametri che possono essere variati per cambiare il uadagno sono la corrente I ed il parametro di ondulatore K, che può essere modificato variando la distanza tra i poli dell'ondulatore oppure, negli ondulatori elettromagnetici, variando la corrente che genera il campo.
Si vede quindi che il valore della corrente è un parametro della massima importanza per il funzionamento di un laser ad elettroni liberi, e quindi è necessario utilizzare acceleratori di elettroni in grado di generare correnti elevati se si vogliono ottenere valori di guadagno che permettano di ottenere l'emissione laser. La dipendenza da 1/g3 dimostra uno dei motivi per cui è difficile realizzare FEL a piccole lunghezze d'onda (l è proporzionale a 1/ g2).
Consideriamo ancora una volta l'espressione del guadagno di piccolo segnale, riportato in fig. 4.3:
Fig. 4.3 : Forma della curva di guadagno di piccolo segnale in funzione del parametro di detuning q
Quando, a causa dell'interazione, l'energia media degli elettroni decresce al punto che il parametro di detuning
cade fuori dal ramo positivo della curva
di guadagno, il processo di emissione FEL si arresterà. Questo accade quando Dq >
2p, quindi il massimo valore di Dq compatibile con l'emissione FEL
è:
(4.32)
che implica una variazione massima dell'energia del fascio di elettroni DE che
può essere ricavata come segue: la frequenza di emissione del FEL w0 è proporzionale al quadrato dell'energia del fascio di elettroni 
quindi
(4.33)
Questa è la massima variazione dell'energia media del fascio di elettroni che ancora permette l'emissione FEL, vale a dire la massima efficienza teorica per il processo di emissione FEL:
(4.34)
Questa equazione prende il nome di "Limite di Renieri" per l'efficienza FEL.
Si può osservare che mentre il guadagno cresce con N3, l'efficienza decresce con N . Questo fatto può essere compreso intuitivamente ricordando quanto detto a proposito delle caratteristiche spettrali dell'emissione di ondulatore: facendo crescere il numero di periodi dell'ondulatore N, aumenta ovviamente la lunghezza dell'ondulatore, per cui un ipotetico osservatore posto in asse con l'ondulatore vedrà l'impulso per un tempo più lungo (il tempo necessario alla luce per percorrere l'ondulatore) e l'emissione avverrà su una banda più stretta. Essendo il tempo di interazione più lungo, sarà maggiore il guadagno; tuttavia con una banda di emissione più stretta gli elettroni che perdono energia andranno più rapidamente fuori risonanza, non contribuendo più all'emissione FEL, e riducendo così l'efficienza.
4.4 Allargamento della riga di emissione del FEL
L'equazione per il guadagno è stata ottenuta nell'ipotesi che il fascio di elettroni fosse monoenergetico a che avesse divergenza angolare nulla, trascurando in tal modo gli effetti causati dalla dispersione in energia a dalla divergenza del fascio.
Tali contributi causano una sorta di "allargamento inomogeneo", che causa una riduzione del valore di picco del guadagno ed un allargamento della curva di guadagno. Anche la posizione della frequenza centrale di emissione subisce una piccola variazione ed è espressa da:
(4.35)
In questa equazione appare un termine aggiuntivo a2g2, dovuto al contributo degli elettroni fuori asse (a è l'angolo di deviazione dalla traiettoria media del fascio di elettroni).
E' possibile esprimere l'allargamento inomogeneo separando i contributi dovuti alla dispersione in energia da quelli dovuti all'emissione di elettroni fuori asse:
(4.36)
Se definiamo se la deviazione standard della distribuzione in energia degli elettroni, si può dimostrare che
(4.37)
Se inoltre consideriamo un ondulatore con un campo non perfettamente sinusoidale, con la presenza di termini di sestupolo hx ed hy, ed un fascio caratterizzato dalle emittanze trasverse ex ed ey i termini di allargamento dipendenti dalle coordinate possono essere espressi da
(4.38)
Per valutare l'effetto dell'allargamento inomogeneo è necessario confrontarlo con l'allargamento omogeneo, dovuto al fatto che il tempo di transito dell'elettrone attraverso l'ondulatore è una quantità finita. E' quindi possibile introdurre i parametri normalizzati di allargamento inomogeneo, definiti come:
(4.39)
Ovviamente se me,x,y << 1, si dice che il FEL sta operando in regime di allargamento omogeneo:
(4.40)
dove il termine me+mx+my descrive la deviazione dal regime di allargamento omogeneo
Gli effetti dell'allargamento inomogeneo sono visibili in fig. 4.4:
Fig. 4.4 : Spettro (- - - ) e guadagno (___) in regime di allargamento omogeneo (a), allargamento inomogeneo da dispersione in energia me=1 (b) , allargamento inomogeneo da dispersione angolare in x mx=1 (c) e allagramento inomogeneo da dispersione in energia e divergenza angolare me=mx=my=1 (d)
E' possibile effettuare un'analisi numerica degli effetti dell'allargamento inomogeneo sul valore di picco del guadagno. Una tale analisi porta al seguente risultato:
(4.41)
ove G0 è il valore del guadagno con solo allargamento omogeneo.
E' possibile verificare che al crescere del numero di periodi dell'ondulatore N, anche i singoli valori dei parametri mi crescono, aumentando così l'allargamento inomogeneo.
Quando il FEL opera con un acceleratore di elettroni a radiofrequenza, appare un ulteriore allargamento inomogeneo: la struttura a pacchetti del fascio di elettroni induce un'analoga struttura nella radiazione emessa, cosicchè il fascio laser appare composto da una serie di impulsi di luce. Per ottenere l'interazione tra i pacchetti di elettroni e gli impulsi di luce che si propagano avanti e indietro nel risonatore ottico, l'impulso di luce, dopo aver percorso nei due sensi la cavità risonante, deve nuovamente trovare un pacchetto di elettroni che entra nel risonatore. Questo significa che la distanza temporale tra due successivi pacchetti di elettroni deve essere uguale al tempo necessario all'impulso di luce per percorrere avanti e indietro la cavità risonante.
Tale distanza temporale nel caso di un acceleratore a radiofrequenza è proprio il periodo della radiofrequenza T, per cui la condizione di "matching" tra pacchetto di elettroni ed impulso di luce si può scrivere come
(4.42)
dove n è un intero positivo; n =2 sta ad indicare che l'impulsodi luce generato dal pacchetto di elettroni i-esimo non incontrerà, dopo un giro completo di cavità, il pacchetto di elettroni n+1, ma quello n+2 (ne salta 1), e così via per n=3,4…
Tuttavia anche quando questa condizione è soddisfatta è necesario ricordare che nel vuoto la velocità della luce è sicuramente maggiore di quella degli elettroni, per cui, percorrendo l'ondulatore, l'impulso di luce tende a sopravanzare il pacchetto di elettroni della quantità:
|
detta lunghezza di "slippage" |
|
La presenza dello slippage ha due conseguenze:
Fig. 4.5 fenomeno della letargia: (a) all'inizio dell'interazione il pacchetto di elettroni (….) e l'impulso di luce (---) sono sovrapposti, e la loro interazione genera nuova radiazione (___); (b) man mano che l'impulso di luce (---) sopravanza il pacchetto di elettroni (….) l'interazione genera luce (___) che resta "arretrata" rispetto all'impulso originario.
Una possibilità per ovviare al fenomeno dello slippage è quella di "rallentare" l'impulso di luce utilizzando un risonatore in guida d'onda: è infatti noto che all'interno di una guida d'onda la velocità di gruppo della luce può essere minore di c, e nel caso in esame è possibile far si che la velocità di gruppo dell'onda sia uguale alla velocità media longitudinale degli elettroni.
L'effetto dello slippage può essere valutato introducendo il parametro:
(4.44)
dove sz è la deviazione standard longitudinale del pacchetto di elettroni.
La quantità mc si chiama "slippage normalizzato" e, come per gli altri parametri m, esiste una relazione tra il guadagno massimo e il valore di mc:
(4.45)
